自17世纪,创立微积分学以来,便大量应用于理论物理、力学和天文学等领域,并因此刺激和推动了微分方程、无穷级数论、微分几何、变分学和复变函数论等新分支的产生。这些新学科与微积分本身的发展成为18世纪数学最重要的内容,使分析学形成了在内容和方法上都具有鲜明特点的、独立的数学领域,与代数、几何并列为数学三大分支。

18世纪,数学本身的发展、数学研究活动的扩张、数学教育的改革,都为19世纪数学的发展准备了条件。微积分学的深入发展,在英国和欧洲大陆走着不同的路线世纪早期,英国牛顿学派的代表人物有泰勒、马克劳林、棣莫弗和斯特林等。

泰勒发现的著名定理是把函数展成无穷级数的最有力的方法;为反驳主教贝克莱对牛顿流数法的攻击,马克劳林发表了著名的《流数通论》,对牛顿的流数方法做出逻辑的系统的阐述。泰勒、马克劳林之后,英国数学长期停滞不前。由于17世纪末开始的关于微积分优先权的争论,助长了英国数学家们狭隘的民族偏见,固守牛顿的流数法,停止了与欧洲大陆的数学交流。

而海峡对岸,分析学在莱布尼茨的继承者们的推动下得到蓬勃发展。伯努利家族的数学家们首先继承并推广莱布尼茨的学说。

瑞士数学家雅各布·伯努利引用莱布尼茨的符号,并称之为积分,莱布尼茨采用他的建议,并列使用“微分学“和“积分学”两个术语。雅各布·伯努利还利用莱布尼茨的计算方法,定义了平面曲线的曲率半径,研究了对数螺线、悬链线,发现了双纽线等。雅各布·伯努利的弟弟约翰·伯努利在莱布尼茨的协助之下发展和完善了微积分学。他借助于常量和变量,用解析表达式来定义函数。在求\frac{0}{0}型不定式的值时,发现了洛必达法则。约翰·伯努利还完善和发展了积分计算法,解决了有理分式的积分问题。约翰·伯努利的学生、法国数学家洛必达根据约翰的讲义,编写了《无穷小分析》,这是第一本系统论述微分学的教科书,促进了微分学的传播。在伯努利家族的影响下,欧拉成长为18世纪数学发展的中心人物。欧拉把伯努利家族继承下来的莱布尼茨的分析学加以系统整理,于1848年出版了《无穷分析引论》。这部巨著与他随后发表的《微分学原理》和《积分学原理》,标志着微积分历史上的一个转折:以往数学家们以曲线作为微积分主要研究对象,而欧拉首次把函数作为微积分的研究中心。自此之后,微积分被看作是关于函数的理论。欧拉等人大大丰富了函数概念,明确区分代数函数与超越函数、隐函数与显函数、单值函数与多值函数等。通过对一些困难积分问题的求解,建立了一系列新的超越函数,如伽马函数、贝塔函数、椭圆不定积分等。进一步系统化对数函数、指数函数和三角函数的研究,并推广到复数领域。

在整个18世纪,数学家们获得很多新成果,但对函数、导数、微分、连续性等基本概念还未形成统一认识;对级数与积分的收敛问题,累次积分交换积分顺序问题,微分方程解的存在和惟一性问题等也少有过问。对微分基础的严密性更是很少关注。

除欧拉的函数理论外,法国天才数学大师拉格朗日试图使微积分摆脱无穷小量和极限,而采取所谓的“代数的途径”。他在1797年出版的《解析函数论》中,提出用函数的泰勒级数来定义它的各阶导数,并以此作为微积分理论的出发点。法国数学家达朗贝尔也试图对微积分做出严格的论证,首次把极限理论作为微积分的基础,并给出单调递增变量的极限的严格定义。欧拉、拉格朗日和达朗贝尔的工作为19世纪微积分的严格表述提供了方向。微分方程

常微分方程的发展始于17世纪。三体问题、摆的运动、弹性理论等方面的数学描述引出了一系列常微分方程。18世纪的数学家主要致力于寻找常微分方程的通解。

莱布尼茨给出了齐次方程和线性方程的通解,他还和伯努利兄弟利用某种变换把伯努利方程化为线性方程;约翰·伯努利给出高阶线性方程的降阶法;1728年,欧拉开始对二阶方程进行系统研究,用指数变换求出常系数线性方程的通解,还建立了任意阶常系数齐线性方程的古典解法;丹尼尔·伯努利和意大利数学家黎卡提等人对某些类型的常微分方程进行了深入研究。18世纪中叶,由于数学物理中的弦振动问题,开始了偏微分方程的研究。

1746年,达朗贝尔建立了第一个弦振动方程;欧拉又将这种方程推广到二维和三维的情形;由于对万有引力的研究,欧拉在1752年又建立了位势方程;法国数学家拉格朗日和勒让德,深入研究了位势方程解的性质,尤其勒让德引出所谓“勒让德多项式”。一阶偏分方程首先出现在流体力学和几何问题之中。到18世纪末期,微分方程已发展成为一门极重要的数学学科,并且成为研究自然科学的有效工具。

变分法的发展是与微分方程的发展交融在一起的。在17世纪末,约翰·伯努利向数学界提出挑战,征求对“最速降线”问题的解。该问题与求普通的函数极值不同,它是寻求一个满足某些条件的极值函数,即泛函的极值。牛顿、莱布尼茨、洛必达、伯努利兄弟等分别给出了正确的答案。

变分法的奠基者是欧拉,他从1728年开始寻求泛函极值的一般解法,1736年得到泛极值有解的必要条件,陆续求出许多泛函问题的极值。法国数学家克莱罗于1733年发表的论文《论极大极小的某些问题》是变分法的第一篇重要论著,而欧拉发表于1744年的论文《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的技巧》是变分法发展史上的里程碑,它标志着变分法作为一个新的分支的诞生。拉格朗日在18世纪中期开始研究变分法,在1755年的论文中解决了更广一类的问题,也得到了欧拉的必要条件。拉格朗日和欧拉通信讨论有关泛函极值的问题,并把这种新方法称为变分法。拉格朗日还首先把变分法置于分析的基础之上,充分利用变分法来建立分析力学体系。

18世纪三四十年代,欧拉利用幂级数详细讨论了初等复变函数的性质,并得到了著名的欧拉公式。达朗贝尔和欧拉分别在1752年和1777年的论文中讨论复函数的导数存在的条件,导出了著名达朗贝尔-欧拉方程(后来更多地称为柯西-黎曼方程)。在这一时期,法国数学家拉普拉斯也研究过复函数的积分。

第一个试图建立复变函数的系统理论的是拉格朗日,他想利用幂级数来建立解析函数的全部理论,但是没有获得成功。尽管如此,他们的工作已为19世纪复变函数的全面发展奠定了基础。变分法、复变函数和微积分一起,形成了“分析”的广大领域。在18世纪,分析的热度远远超过代数和几何,数学家们力图用纯分析的手法以摆脱对几何论证的依赖,这种倾向是18世纪数学发展的一个特点。

在18世纪,几何与代数也都获得了一定的发展,解析几何成为一个独立的充满活力的分支。虽然牛顿和雅各布·伯努利对特殊问题曾用过极坐标,但极坐标的正式、普遍使用开始于瑞士数学家赫尔曼于1729年用极坐标研究一般曲线的工作,并立了从直角坐标到极坐标的变换公式。英国数学家斯特林把平面二次曲线的一般方程化为标准型,欧拉建立了平面曲线的参数方程。

空间解析几何是在18世纪发展起来的。约翰·伯努利引进了现在通用的三个坐标平面;法国数学家帕朗最早使用三个坐标变量的方程表示曲面;克莱罗和赫尔曼建立了空间曲线和二次曲面的方程等。欧拉和法国数学家蒙日对空间解析几何也都有过重要工作。前者用坐标变换把三个变量的二次方程化为标准型,得到6种曲面;后者阐明二次曲面的截线是二次曲线,并研究了直纹曲面的性质等。

微分几何在很大程度上也是微积分的自然产物,与解析几何同时发展起来,并在18世纪形成独立的学科。到17世纪末,得到很多平面曲线世纪主要是发展空间曲线和曲面的理论。

空间曲线的理论由克莱罗开创,经欧拉的工作而完善。克莱罗于1731年解析地论述了空间曲线的基本问题,他称空间曲线为“双曲率曲线”,研究了其切线、法线,并给了弧长表达式;欧拉为了探索扭曲橡皮带的形状问题而开始空间曲线的研究。用参数方程来表示空间曲线,引进球面指标线的概念,推导出曲率半径的表达式;法国数学家朗克雷也研究了空间曲线理论,给出了挠率公式;克莱罗、欧拉、朗克雷的工作在19世纪被柯西发展。曲面理论是从研究曲面上的测地线开始的。

欧拉在1760年的论文《关于曲面上曲线的研究》中建立了曲面的理论,对微分几何做出了重要贡献;蒙日自1771年开始发表了一系列论文使微分几何在18世纪发展到高峰。他及其学生全面概括了空间曲线的一般理论,并在可展曲面、极小曲面、曲面曲率及各种曲面族等方面获得了系统的结果。蒙日还通过微分几何的研究建立了偏分方程的特征理论。蒙日的《画法几何学》在18世纪重新唤起对综合几何的兴趣。他指出画法几何只是投影几何的一个方面,这促进了更一般的投影几何学与几何变换理论的发展。代数学

在18世纪,代数与分析很难分开。一方面,许多情形下,代数都服从分析;另一方面,大量促进代数发展的因素来自分析。数学家对无理数和复数的认识有了一定进展。欧拉、德国数学家朗伯、法国数学家勒让德等人研究了圆周率的无理性,并区分了代数数和超越数。欧拉提出对复数的对数的正确认识,达朗贝尔关于一切虚数都有形式a+bi的断言逐渐被同时代人接受。

方程理论的研究是18世纪代数学的主要内容。从18世纪中叶开始,许多数学家如达朗贝尔、拉格朗日、欧拉等都在研究代数基本定理。直到1799年,高斯才给出第一个实质性的证明。高于四次的代数方程的根式解问题始终困扰着18世纪的数学家;高斯对二项方程的研究及拉格朗日对方程的根的有理函数及其置换的研究,为19世纪代数学的革命性发展开了道路。

18世纪,概率论逐渐发展成为一个数学分支。其奠基人是雅各布·伯努利、法国数学家棣莫弗和拉普拉斯。

雅各布·伯努利研究了“掷n个骰子所得点数总和等于m”的问题,开母函数方法的先河,最重要的贡献是建立了概率论中第一个极限定理,即伯努利大数定律,发表在1713年的遗著《猜度术》中;棣莫弗的《机会论》也是早期概率论的重要著作,其中使用了正态分布曲线,推导出n!的渐近公式,即斯特林公式;拉普拉斯系统总结了前人的工作,于1812年出版了《概率的分析理论》,对古典概率做出强有力的综合。

18世纪的数学研究,大部分与欧洲各国的科学院相联系。在大学里长期存在着数学教学与研究分离、脱节现象。到18世纪末,格丁根大学首先强学与研究的结合。法国大革命期间建立的巴黎综合工科学校和巴黎高等师范学校,则成为新型的科学教育和研究机构的典范。社会政治环境对18世纪数学的发展有直接的影响。英国学术界的保守气氛,同拥教保王的政治环境不无关系;而法国大革命则提供了社会进步促进数学发展的典型史例。18世纪,法国最优秀的数学家,几乎都被吸收到革命政权的各项改革活动中去。而拉格朗日、拉普拉斯、蒙日、勒让德等人都受聘出任巴黎综合工科学校或巴黎高等师范学校的数学教授。蒙日还兼任综合工科学校的校长。他们的工作,使这两所学校成为新一代数学家的摇篮。所有这些都为19世纪数学的大发展奠定了基础。

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